LES rezolvare metode de substituție și adăugare
liniară, iar ecuațiile și nu sunt liniare.
In general, sistemul de ecuații liniare m în n variabile este scris ca:
numerele
Ele se numesc coeficienții variabilelor. și
-
termeni liberi.
set de numere
Se numește o soluție de (1) ecuații liniare, dacă le înlocui variabilele din toate ecuațiile ele se transformă în adevărate egalitate.
Studiul sistemelor de ecuații liniare începe în liceu. În cursul școlar se referă în principal sistemul de două ecuații liniare cu două variabile și două metode de soluționare a acestora - metoda metodei de substituție și de adaos. Aceste tehnici sunt baza studiate în cursul matematici superioare, metoda Gauss. (A fundamental diferită metodă - metoda de Cramer - bazată pe utilizarea determinanților).
Pentru a muta secvențial de la simplu la mai simplu (complex), se repetă metoda de două școală.
Decizie. La rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin substituție la început de la unele ecuații exprimă o variabilă de cealaltă (dacă există mai mult de două necunoscute). Expresia rezultată este substituită în celelalte ecuații rezultând vin la o ecuație cu o singură variabilă. Apoi, găsiți valoarea corespunzătoare a doua (a treia și, dacă este cazul) variabilă.
Pentru a începe cu acesta este un exemplu de școală a unui sistem de două ecuații liniare cu două variabile.
Exemplul 1 Pentru a rezolva sistemul de ecuații liniare prin substituirea:
Ne exprimăm prima ecuație a sistemului prin y x (posibil și invers) și se obține:
Înlocuind în a doua ecuație a sistemului în loc de expresie y, obținem sistemul
Acest lucru și sistemele rezultate sunt echivalente. a doua ecuație are o singură variabilă, în acest din urmă sistem. Noi rezolva această ecuație:
Găsiți valoarea y corespunzătoare prin substituirea numerelor -5 x în expresia unde
Perechea (-5, 2) rezolvarea sistemului de ecuații liniare.
metoda de substituție poate fi rezolvată și sistemul de trei ecuații liniare cu trei variabile.
Exemplul 2. Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin substituirea:
Din a treia ecuație ne exprimăm:
Înlocuim această expresie în a doua ecuație a sistemului:
Proizvedom transforma și exprima această ecuație:
Expresia rezultată pentru și substituenților în prima ecuație, și obținem
În schimb, puteți re-substitui expresia ei, obținem o ecuație într-o singură necunoscută:
Acum, din expresiile obținute anterior pentru variabilele rămase și aceste variabile le găsim:
Deci, soluția la acest sistem de ecuații liniare:
Exemplul 3. Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin substituirea:
Din prima expres ecuația:
Înlocuim această expresie în a doua ecuație a sistemului, iar apoi a efectua conversia și a obține:
Din a treia ecuație ne exprimăm:
Această expresie pentru substitutului în a doua ecuație a sistemului transformat și de a obține o ecuație într-o singură necunoscută:
transformare Proizvedom și pentru a găsi:
Acum, din expresiile obținute anterior pentru variabilele rămase și aceste variabile le găsim:
Deci, soluția la acest sistem de ecuații liniare:
La rezolvarea sistemelor de ecuații liniare ale sistemului de ecuații prin adăugarea termwise pliat, cu unul sau ambele (multiple) ecuațiile pot fi multiplicate cu numere diferite. Ca urmare, ajunge la un echivalent (echivalent), sistemul de ecuații liniare, în care una din ecuațiile cuprinde o singură variabilă.
Exemplul 4. Pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare adăugând:
Decizie. În ecuațiile sistemului în acest exemplu, coeficienții sistemului cu y - aditiv invers. Adăugarea termenului de termen, părțile din stânga și din dreapta ale ecuațiilor, obținem o ecuație cu o singură variabilă:
Înlocuiți cel al sistemului original de ecuații, de exemplu, prima ecuație. obținem sistemul
Rezolvăm sistemul rezultat. Substituind în ecuația, obținem o ecuație cu o singură variabilă y:
Perechea (2; 1) este o soluție a sistemului de ecuații rezultat liniare. De asemenea, este o soluție a sistemului original, deoarece aceste două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente.
Exemplul 5 Rezolva sistemul de ecuații liniare prin adăugarea
Termwise adăugarea unui sistem de ecuații nu conduce la excluderea uneia dintre variabile. Dar, dacă înmulțiți toți termenii din prima ecuație a -3, iar a doua ecuație 2, coeficienții de x în ecuațiile rezultate vor fi numere opuse:
Termwise ecuațiile de adiție rezultă transformări ale sistemului conduce la o ecuație cu o singură variabilă :. Din această ecuație, descoperim că. Am primit
Decizia sistemului rezultat și, prin urmare, sistemul original de ecuații liniare este perechea de numere (-3, 0).
Exemplul 6 Pentru a rezolva sistemul de ecuații liniare adăugând:
Decizie. Pentru a simplifica soluții de schimbare proizvedom de variabile:
Ajungem la un sistem de ecuații liniare:
Înmulțirea a doua ecuație de -2 al sistemului rezultat, și se adaugă cu prima ecuație, obținem. Apoi.
Prin urmare, avem sistemul de ecuații
Inmultind al doilea sistem ecuații obținut prin 3 și adăugați-l la prima ecuație. obținem
După ce a rezolvat problema exemplelor privind decizia prin substituirea și adăugarea de sisteme de ecuații liniare, am învățat să efectueze transformări elementare necesare pentru sisteme de ecuații liniare de rezolvare într-un curs de matematici superioare.
Continuând tema „Sisteme de ecuații și inegalități“