Regiunea existenței

II. calcul diferențial

Funcții de mai multe variabile

§ 1. Funcții de mai multe variabile. Concepte de bază.

Regiunea existenței. Liniile și suprafață plană

Pentru a descrie pe o anumită funcție de suprafață plană imagine a două variabile. folosind așa-numita linie de nivel. care sunt definite de ecuația unde. Această metodă este după cum urmează: în primul rând, construirea unei suprafețe în secțiune transversală a planului orizontal. și apoi aplicat pe curbele plane obținute. Pe hărțile în așa fel descriu teren.

suprafețe de nivel reprezintă locul geometric al punctelor în spațiu în care funcția are aceeași valoare

Definiție (o funcție de mai multe variabile). În cazul în care fiecare punct al setului de spațiu euclidian n-dimensional de puncte este alocat pentru un anumit număr de legi bine-cunoscut este declarat a fi pe platoul de filmare al unei funcții date. sau. Atunci când acest set este numit domeniul de definire a funcției

Numărul corespunzător punctului dat din setul. numit valoarea privată a funcției în punctul. Colectarea tuturor punctelor de date funcție se numește setul de valori ale funcției. Deoarece punctul definit prin coordonatele sale la variabilele funcției folosite o altă denumire

Exemplul 1.1. Găsiți zona valorilor

Decizie. Domeniul de definire a acestei funcții este un cerc cu raza de 1 centrată la origine, iar setul de valori este un interval

Exemplul 1.2. Găsiți domeniul funcției

Decizie. Această funcție este definită pentru toate tripletele. în același timp, care îndeplinește condițiile

Exemplul 1.3. Găsiți nivelul funcției de linie.

Decizie. Pe baza determinării nivelului liniilor pe care le scriem

. sau. Noi transformăm această expresie:

Astfel, liniile de nivel sunt date eliptică-funcția ei înșiși.

Exemplul 1.4. Găsiți suprafața nivelului funcției.

Decizie. Ecuația suprafeței nivelului

Să transformăm această ecuație:

Apoi, nivelul suprafeței va fi o familie de conuri

Efectuarea schimbării. obținem

Răspunsuri: 1.1. Toate punctele de planul în afara cercului. 1.2. Ring. 1.3. O pereche de unghiuri verticale. 1.4. Un set de patru spațiu octante. 1.5. piramidă deschis cu noduri. 1.6. Interiorul hiperboloidul două sub formă de foi. 1.7. O familie de elipse similare. 1.8. a) I și III cu cadrane. polilinii dvuhzvennyh familie unități care sunt paralele cu axele de coordonate, iar nodurile situate pe linie la; b) linii de nivel - laturile unghiuri paralele cu direcția pozitivă și axele de coordonate. cu nodurile pe linia; c) Familia de circuite cu un pătrate centru comun. laturile care sunt paralele cu axele și. la punctul; d), axe drepte paralele. în cazul în care. unghiurile, paralele cu axele de coordonate și jumătate pozitive. cu nodurile de pe parabolei. în cazul în care. semiaxa pozitivă. în cazul în care. 1.9. Fasciculul unui cerc care trece prin origine (fără a include acest început) și perpendicular pe axa. 1.10. Familie de cercuri, perpendicular pe axa și care trece prin punctul. după deducerea acestuia din urmă. 1.11. Familia de hyperboloids atunci când două-sub formă de foi. hiperboloid-familie, atunci când sub formă de foi. con la. 1.12. sfere concentrice de la familie. Familia de straturi sferice. în cazul în care. sau când.