Cum se determină periodicitatea funcției
Dacă F (x) - funcția de argument x, atunci aceasta se numește periodică dacă există un număr T, care, pentru orice x F (x + T) = F (x). Acest număr se numește perioada T și funcția.
Perioada poate fi de mai multe. De exemplu, funcția F = const pentru toate valorile argument are aceeași valoare și, prin urmare, orice număr poate fi considerat ca perioada sa.
De obicei, interesat în matematică mai mică de zero perioadă a funcției. Este de dragul de concizie și pur și simplu numit perioada.
Un exemplu clasic de funcții periodice - sinus trigonometrice, cosinus și tangenta. Perioada lor este aceeași și egală cu 2tt, adică sin (x) = sin (x + 2π) = sin (x + 4π) și așa mai departe. Dar, desigur, funcțiile trigonometrice - nu numai periodice.
funcții relativ simple, de bază numai modalitate de a stabili periodicitatea lor sau non-periodicitate - calcul. Dar pentru funcțiile complexe au deja câteva reguli simple.
Dacă F (x) - o funcție periodică cu perioada T, și pentru ca acesta derivat, acest derivat de f (x) = F „(x) - este de asemenea o funcție periodică cu o T. perioadă Deoarece valoarea derivatului de la punctul x este egal cu panta tangentei grafica primitive în acest moment, în abscisă, și pentru că primitive, se repetă periodic, nu trebuie repetată și derivatul. De exemplu, un derivat al păcatului funcției (x) egal cu cos (x), și este periodic. Luând derivata cos (x), veți obține un -sin (x). Periodicitatea este menținută în mod constant.
Cu toate acestea, invers nu este întotdeauna adevărat. Astfel, funcția f (x) = const periodic și primitivă F (x) = const * x + C - Nr
Dacă F (x) - o funcție periodică cu perioada T, atunci G (x) = a * F (kx + b), în cazul în care a, b și k - constante și k nu este zero - de asemenea, o funcție periodică și perioada sa este egală cu T / k. De exemplu, sin (2x) - funcția periodic, iar perioada sa este egală cu tt. Intuitiv, acest lucru poate fi reprezentat după cum urmează: multiplica x de către orice număr doriți pentru a comprima programul orizontal funcționează exact de câte ori
Dacă F1 (x) și F2 (x) - funcții periodice sunt egale și perioadele lor T1 și T2, respectiv, atunci suma acestor funcții pot fi, de asemenea, periodic. Cu toate acestea, perioada de ei nu este pur și simplu suma perioadelor T1 și T2. Dacă rezultatul împărțirii T1 / T2 - număr rațional, suma funcțiilor periodice, iar perioada sa este egală cu mic multiplu comun (LCM) a perioadelor T1 și T2. De exemplu, în cazul în care durata primei funcție este de 12, iar cea de a doua perioadă - 15, perioada de suma lor este egală cu NOC (12, 15) = 60.
Intuitiv, aceasta poate fi reprezentată ca o funcție vine cu diferite „lățime pas“, dar, în cazul în care raportul dintre lățimea lor este rațională, atunci mai devreme sau mai târziu (sau, mai degrabă, este prin CNO etape), acestea prind din nou, iar suma va începe o nouă perioadă.
Cu toate acestea, în cazul în care raportul dintre perioadele este irațională, atunci funcția agregată este periodic deloc. De exemplu, să F1 (x) = x mod 2 (restul după împărțirea x de 2) și F2 (x) = sin (x). Aici T1 este egal cu 2, și T2 este egal cu 2tt. perioade egale cu raportul dintre π - număr irațional. Prin urmare, păcatul funcție (x) + x mod 2 nu este periodică.