Newton-Leibniz

În majoritatea aplicațiilor pentru a calcula valoarea exactă a integralei definită nu este recomandabil, de altfel, nu este întotdeauna posibil. Știm că există suficient de multe ori valoarea unui integrala definită cu un anumit grad de precizie, de exemplu, cu o precizie de o miime.

Pentru a găsi o valoare aproximativă a integrala definită prin integrarea numerică precizia necesară este utilizată, de exemplu, metoda Simpson (parabole metoda). Metoda de trapeze sau dreptunghiuri metodă. Cu toate acestea, este posibil să se calculeze integrala definită cu precizie, în unele cazuri.

În această lucrare ne vom concentra pe utilizarea formulei Newton-Leibniz pentru a calcula valoarea exactă a definit integralei, prezentăm o soluție detaliată exemple specifice. De asemenea, în exemple avem de a face cu schimbarea de variabile într-o integrală definită și de a găsi valoarea definită integralei prin integrarea de către părți.

Navigare în pagină.

Formula Newton-Leibniz.

Lăsați funcția y = f (x) este continua pe intervalul [a; b] și F (x) - o funcție a primitivelor pe acest interval, atunci următoarea formulă deține Teorema fundamentală. .

Formula-numita Teorema fundamentala formula generală calcul integral.

Pentru a dovedi formula Newton-Leibniz avem nevoie de conceptul integralei cu limită superioară variabilă.

Dacă funcția y = f (x) este continua pe intervalul [a; b]. atunci tipul de argument este funcția integrală a limita superioară. Notăm această funcție, iar această funcție este continuă și egalitate.

Într-adevăr, vom scrie incrementul funcției corespunzătoare incrementarea argumentului și de a folosi a cincea caracteristică a definit integral si rezultatul celor zece proprietăți:

în cazul în care.

Noi rescrie această ecuație în formă. Dacă ne amintim definiția derivat al unei funcții și du-te la limita, vom obține. Adică, - este una din funcția primitivelor y = f (x) în intervalul [a; b]. Astfel, o pluralitate de primitivelor F (x) poate fi scrisă ca unde S - este o constantă arbitrară.

Compute F (a). folosind prima proprietate a integrala definită: astfel. Noi folosim acest rezultat în calculul F (b). Ie. Această ecuație dă formula dorită Newton-Leibniz.

Funcția Incrementați poate fi desemnată drept. Folosind această notație, Newton-Leibniz formula devine.

Pentru a aplica Teorema fundamentală a formulei este suficient să se cunoască din primitivelor y = F (x) funcția integrantul y = f (x) în intervalul [a; b] și se calculează incrementul acestei primitive la acest interval. În metodele articol de integrare a principalelor metode de a găsi primitive. Noi dau mai multe exemple de calcul al integralele definite cu formula Teorema fundamentală pentru clarificare.

Se calculează valoarea integrala definită Formula Teorema fundamentală.

Pentru început, funcția integrandul este continuă pe intervalul de [1, 3]. Prin urmare, este integrabilă. (Cu privire la funcțiile integrabile am discutat în secțiunea funcțiilor pentru care există integrantă o certă).

Din cauza integralelor nedefinite tabel arată că, pentru funcția set de primitivelor pentru toate valorile valide ale argumentului (și, prin urmare, a) este scris ca. Să considerăm un primitiv când C = 0 ..

Acum trebuie să profite de formula Newton-Leibniz pentru a calcula o integrală definită :.

In integrantul segment continuu, prin urmare, integrabil.

Găsim set de funcții primitive.

Să considerăm un primitiv și Newton-Leibniz dorit să calculeze definită integrantă:

Vom trece la a doua integrala definită.

În intervalul [-1; 1] integrantul nu este limitată, deoarece nu este condiția necesară pentru integrabilitatea segmentului. Mai mult decât atât, există o funcție primitivă la interval de [-1; 1]. deoarece punctul de 0. aparținând segmentului, aceasta nu este inclusă în domeniul funcției. Prin urmare, nu există nici o certă Riemann integrală și funcția Teorema fundamentală pe intervalul [-1; 1].

Deci, înainte de a aplica formula Newton-Leibniz cu siguranta trebuie să vă asigurați că există această integrantă bine definit.

Înlocuirea unei variabile în definit integral.

Lăsați funcția y = f (x) este definit și continue pe intervalul [a; b]. Setul [a; b] este intervalul de valori ale unei funcții x = g (z). care este definit pe intervalul, și are un derivat continuu, și în care, atunci.

Această formulă este convenabil de a folosi atunci când vrem să calculeze integral și nedefinită integrală, ne-ar fi în căutarea pentru metoda de substituție.

Să considerăm un exemplu pentru claritate.