Numărul în matematică - este
1. Definiții. R. este o secvență de elemente desenate pe unele legi. Dacă dat un RV atunci acest lucru înseamnă că legea, cu care puteți crea orice număr de elemente ale R. Prin elemente de proprietate distinge numerele R., funcții și acțiune R. R.. Iată câteva exemple.
este P. numere naturale;
și 0. 1 x a 2 a 2 a n x n.
- R. funcții exponențiale sau a puterii P.
Aici, numărul unui 0. 1. 2. a n. scris pe unele legi, de exemplu.
1, x, x 2 /(1.2), x /(1.2.3 3). x n /(1.2. n).
0, x, x 2/2 x 3/3, x 4/4. (-1) n-1 x n / n.
Pentru a calcula valoarea numerică a unei expresii este necesar să se efectueze o acțiune R.. Ex.
Cu ajutorul acțiunii R. căutat cel mai mare divizor comun a două numere date.
R. u 0. u 1. u 2. u n.
menționate. infinit în cazul în care există u k + 1 element de după fiecare element u k; în caz contrar, R. menționat. end. Ex.
un R. finit, deoarece nu există elemente care, după elementul 10.
2. Numărul de definit următor.
De o importanță deosebită sunt tipurile infinite R.
(1). 1/10. și 2/10 și 2. n / 10 n.
în cazul în care un 1 a 2 a 3 a n. sunt numere întregi pozitive, un 0 este arbitrar mare; fiecare dintre celelalte numere 1 și 3. 2. un număr mai mic de 10. Acest număr poate fi numit, deoarece este posibil să se compare acest număr cu numere raționale (cm.), este posibil să se stabilească conceptul de egalitate, sumă, produs, diferența sau privat o astfel de serie.
R (1) este notat pentru concizie odnoyu litera a.
Se spune că mai mult de un număr rațional p / q. dacă n este suficient de mare, inegalitatea
a 0 + 1/10 și + 2/10 2 +. + A n / 10 n> p / q
În cazul în care cel puțin n
a 0 + 1/10 și + 2/10 2 +. + A n / no 10 n> p / q
dar suficient de mare pentru n
a 0 + 1/10 și + 2/10 2 +. + A n / 10, n> r / s
unde r numărul / s arbitrar ales mai mic de p / q. aceasta este considerată ca fiind egală cu p / q.
Pe această bază, R.
9/10 9/10 9/10 2 3.
este unitatea. Această egalitate este notat cu 0, 999 = 1.
În cazul în care nu este egal cu 9, și toate numerele ulterioare
un k +1. un k +2. un k +3. egală cu 9, atunci numărul de. R. determinat (1) este
a 0 + 1/10 și + 2/10 2 +. + (A k + 1) / 10 k.
În cazul în care nu toate numerele k + 1. și k + 2. și k + 3. egală cu 9, atunci
a = a 0 + 1/10 și + 2/10 2 +. + A k / 10 k
Se poate întâmpla ca toate elementele (1) începând cu k + 1. zero. În acest caz, exprimat în conformitate cu definiția
și <а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +. + ( а k +1)/10 k
Acest tip de număr numit. zecimale efect.
Deoarece aritmetică este cunoscut faptul că pentru manipularea fracției comune în fracția zecimală obținută finit sau infinit periodice. Fiecare fracție zecimală periodică poate fi transformată într-o fracție ordinară. Rezultă că o zecimală infinită non-periodice nu poate fi un număr rațional, și, prin urmare, reprezintă numărul de un tip special numit irațională (a se vedea.).
3. convergență și divergență de serie. Numerele R.
(2). u 0. u 1. u 2. u n.
numit. convergent dacă există un (rațional sau irațional), că creșterea valorii numerice a diferenței n
și - (. u 0 + u 1 + u 2 + u n-1)
Devine și rămâne în mod arbitrar mici. Un astfel de număr se numește. o sumă R. În acest caz, scrie
(3). a = u 0 + u 1 + u 2 +.
și această egalitate se numește. descompunere într-un număr de nesfârșită R. Dacă un astfel de număr și nu există, R. (2) se numește. divergente.
Cel mai important exemplu de R. convergent reprezintă o progresie geometrică (cm.).
numitorul q este o valoare numerică mai mică decât unu. În acest caz, avem descompunerea
1 / (1 - q) = 1 + q + q 2 +.
Un exemplu poate fi divergente R.
R. Aceasta se numește. armonic, ca la fiecare trei succesive ale membrilor săi formează o proporție armonică (sunt în relație armonică; cm.). expresie
Nu are nici un sens.
În cazul în care armonice membrii R. luați alternativ cu semnele + și -, obținem o expresie convergentă R.
este egal cu logaritmul 2, luate la baza e (cm.).
Neputând expună în detaliu semnele de convergență, observăm doar următoarea teoremă.
Acest AR - convergent dacă modulele R (. Cm) Dintre membrii săi convergente.
R. 0. v - v v 1. 2. 3 -v.
în care numărul 0. v v v 1. 2. 3. v pozitiv, convergente, în cazul în care odată cu creșterea n
R. termeni pozitivi
u 0. u 1. u 2. u n.
lim (u n + 1) / u n <1
această serie diverge în cazul în care
lim (u n + 1) / u n> 1
În cazul în care R. termeni pozitivi
dar și 0 și 1. 2. u și n.
lim (u n + 1) / u n = 1 - r / n + θ (n) / n α.
unde r este independent de n. α> 1 și θ (n) printr-o valoare numerică este întotdeauna mai mică decât un număr pozitiv, apoi convergente la R. r> 1 și diverge când r = 1 sau mai puțin (tăbăcării, „Introducere à La variabilă Theorie des fonctions d'une“, pag. 84).
4. convergență condiționată și absolută. Dacă R (4) v 0. v 1. v 2. v n.
convergente, dar R. module ale membrilor săi divergenta, noi spunem că R (4) este convergenta. Ex.
Robert numit. converge absolut în cazul în care modulele R ale membrilor săi convergente.
Suma convergenta R. variază în funcție de ordinea membrilor. Ex.
1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +. = Log2,
dar 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +.
= 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +. 2 = 1/2 log.
Suma absolut convergentă R. nu depinde de ordinea membrilor săi.
Dacă numerele a și b pot fi extinse într-un R. absolut convergentă
a = a 0 + a 1 + a 2 +.
b = b 0 + b 1 + b 2 +.
a 0 a 0 b 0. b 1 + a 1 b 0 b 0. 2 + 1 + a 2 b 2 b 0.
absolut convergente, și, în plus,
a 0 b 0 + (a 1 b 0 + a 0 b 1) + (a 0 + a 2 b 1 b 2 b 2 + a 0) +. = Ab.
5. convergență uniformă. Să presupunem că ne sunt date de R.
(5). f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x). f n (x).
membrii care sunt funcții de una variabilă x. care pot primi atât reale și imaginare (cm.) valori. Setul de valori ale lui x, la care R. convergent, formează o regiune așa-numita convergență.
R1, x, 1,2 x 2. 1.2.3 x 3.
converge doar la x = 0.
R1, x, (1/2 + 1,2 x 2), (1/3 + 1.2.3 x 3).
divergente la fiecare x.
R1, x / 1, (x 2 /1.2), (x 3 /1.2.3).
adunare. pentru fiecare valoare a lui x. Dacă 1 α 0. alfa putere P. x, α 2 x 2.
adunare. la o anumită valoare a lui x nu este egal cu zero, atunci R. convergent. și cel puțin x. Modulul este mai mic decât numărul de unele R. Dacă folosim reprezentarea geometrică a valorilor imaginare (vezi.), putem spune că domeniul de convergență al cercului de rază R are R.
Un exemplu este progresie geometrică
1, x. x x 2. 3. cerc a cărui rază de convergență este egală cu unitatea.
Dacă x aparține domeniului de adunare. R. (5), atunci pentru orice n. mai mare decât unele număr t
mod [f n (x) + f n + 1 (x) + f n + 2 (x) +. ] <ε, где ε — данное положительное число сколь угодно малое.
În general, t depinde de x și ε, dar poate, în cazuri specifice care m depinde numai de ε, dacă valorile lui x aparținând unei anumite regiuni (S). În acest caz, R. (5) se numește. convergent uniform în zona (S).
De exemplu, ia în considerare R.
(6). (1 - x), x (1 - x), x 2 (1 - x).
reale limitate și valori pozitive ale lui x.
R. Această adunare. în timp ce atunci când x este mai mic sau = 1
Pentru inegalitatea
(7). x n (1 - x) + x n + 1 (1 - x) +. <ε или x n <ε,
noi trebuie să ia n> Autentificare ε / Log x
În continuare. în acest caz,
Dupa cum se poate vedea, că este independentă de x. Nu contează cât de mare a fost m. există valori ale lui x în intervalul (0, 1), astfel încât inegalitatea (7) nu este îndeplinită pentru orice n, mai mare decât m. În cazul în care X = 1, atunci (7) este îndeplinită dacă n este mai mare sau = 1
Acest lucru dovedește că subiectul P. inegal convergente. între 0 și 1.
0
t = Log ε / Log (1 - α) și n = m sau mai mare
În continuare. R (6) converge uniform. în intervalul (0, 1 - α).
Dacă în convergența uniformă a unui număr de membri
f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x).
sunt funcții continue de x. atunci suma R - funcția Continuous (vezi discontinuității.).
Converge uniform. R. termwise se poate integra sau diferenția.
Problema integrării R. prezintă cel puțin conștient de calculul integral. În ceea ce privește diferențierea R. ceva despre acest lucru, a se vedea lucrările lui Weierstrass :. "Mathematische Werke", Volumul 2-lea ( "Abhandlungen", II, pp 205-208.).
și 0. 1 x 2 și x 2.
au convergența uniformă a convergenței în interiorul cercului.
6. Extinderea funcțiilor în serie. În cele ce urmează vom presupune că variabila independentă este real. Cu formula Maclaurin obținut prin următoarea descompunere (Cm.):
(Aceste formule sunt valabile pentru orice x).
Pentru a putea folosi formula (9) pentru a calcula, de exemplu. cos 2 °, este necesar să se substituie în locul x raport cu raza lungimii arcului, care conține 2 grade.
În formele. (11) logaritmul este luată la baza e. Această formulare. incomod pentru a calcula logaritmi, deoarece este necesar să se ia o mulțime de membri ai R. chiar și precizie minoră. O mai convenabil pentru formula de calcul al 13-lea, care este derivat din formula (11) presupunând
jurnalul funcția de expansiune (1 + x) - log (l - x).
Presupunând că a = 1, z = 1, am log2;
"A = 1, z = 1," log5;
a + z = 3, a = 4-80, „log3;
a + z = 4 și 7 = 2400, „log7;
Multiplicarea logaritmii naturali ai rezultatelor acestor numere în
M = 1 / log10 = 0,43429 44819 03251 82765.
obține un logaritm zecimal (în baza 10) din aceleași numere (cm.).
Formulare. (12) deține atunci când x = 1, dacă m> -1, iar la x = -1, dacă m> 0 (Abel, „Oeuvres complètes“, 1881, p. 245).
Cu fisiune directă a extins în funcții raționale putere P.. Puteți folosi în acest scop și metoda coeficienților nedeterminați. Presupunând, de exemplu.
1 / (1 + 2 t + 5 t 3 t 3 + 3) = y 0 + y 1 + y 2 t t 2 + y 3 + t 3.
0 = y 1, y 1 + 2 y 0 = 0, y 2 2 + y 1 + y 0 5 = 0,
y 2 y 3 + 2 + 5 1 + 3 y 0 = y 0,
4 y 2 + y 3 + y 5 + 2 3 y 1 = 0 și t. D.
Coeficienții R. y 0. 2. y 1. y are proprietatea că patru Coef consecutive. sunt legate de y n + 3 + 2 y n + 2 + 5 y n + 1 + 3 la n = 0.
Acest tip de RA numit. returnabile. Din ecuațiile de mai sus determinată secvențial de la y 0. 1. y 2.
Descompunerea acestei funcții în R. există prin calcul integral, dacă R. cunoscută expansiunea derivatului. În acest fel, obținem o extindere
(14). arc tg x = x - (x 3/3) + (x 5/5) -.
(15). păcat arc x = x / 1 + 1/2 (x 3/3) + (1,2 / 2,4) (x 5/5) +.
valabile pentru valori ale lui x satisfac
Există arc tg x si arc sin x sunt numere care se află între -π / 2 și π / 2 și tg este egal cu sau sin x.
R (14) folosind formula Mechena (Machin)
π / 4 = 4 arc tg (1/5) - arc tg (1/239)
Acesta vă permite să calculeze rapid π cu un număr mare de zecimale. Astfel Shanks (Shanks) calculat π cu 707 caractere zecimale. Extinderea funcțiilor în trigonometrice R. și descompunerea funcțiilor eliptici vor fi explicate mai târziu.
Collegiate dicționar FA Brockhaus și IA Efron. - S.-Pb. Brockhaus-Efron. 1890-1907.
Vezi ce „numărul în matematică“ în alte dicționare:
GAMA (în matematică) - SERIES, seria infinită, a cărei exprimare este a1, a2 membri. o. numărul (seria număr) sau funcție (numărul funcției). În cazul în care suma primilor n termeni ai seriei (suma partiala): Sn = a1 + a2 +. + O n crește angajat pe termen nelimitat în ... ... Collegiate dicționar
Matrix (matematică) - matrice matematică, elemente de sistem aij (numere, funcții sau alte variabile care pot produce operații algebrice) dispuse într-un circuit dreptunghiular. Dacă circuitul are m linii și n coloane, se vorbește de matrice (m n). ... ... Marea Enciclopedie Sovietică
Centru (în matematică) - Pentru o descriere generală a teoriei grupurilor, a se vedea Grupul (matematică) și teoria grupurilor .. Italicele denotă un link către acest dicționar. # A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U ... Wikipedia
Numărul în matematică - pentru a descrie un set de obiecte similare, este necesar să se precizeze ce elemente și cât de mulți dintre ei. De exemplu, în acest tabel sunt cinci creioane în această cameră șapte scaune în dulap două sute treizeci și șase de cărți. Tag-uri: cinci, șapte, două sute ... ... Collegiate dicționar FA Brockhaus și IA Efron
Numărul în matematică - pentru a descrie un set de obiecte similare, este necesar să se precizeze ce elemente și cât de mulți dintre ei. De exemplu, în acest tabel sunt cinci creioane în această cameră șapte scaune în dulap două sute treizeci și șase de cărți. Tag-uri: cinci, șapte, două sute ... ... Collegiate dicționar FA Brockhaus și IA Efron
Mai multe - are mai multe semnificații: un număr de omogene, obiecte similare aranjate într-o linie. Un număr de totalitatea unor evenimente ce, în urma unul după altul într-o anumită ordine. Un număr, un număr considerabil, cum ar fi „numărul de țări“ ... Wikipedia
Series (matematică.) - Series, cantitate infinită o astfel de formă u1 + u2 + u3 +. + Un +. sau mai scurtă. (1) Unul dintre cele mai simple exemple R. apar deja în matematică elementară, suma este progresie geometrică infinită 1 + q + q 2 +. + Q ... ... Marea Enciclopedie sovietică
Mai multe - I m 1. Colectia de obiecte omogene aranjate într-o linie .. Ott. Funcționarea într-o singură linie; rang. 2. Secvența liniară de locuri în teatru, cinema etc. Ott. Persoanele care ocupă astfel de locuri. 3. Situat într-o singură linie boxe ... Dicționar modern al limbii române Efraim
Mai multe - I m 1. Colectia de obiecte omogene aranjate într-o linie .. Ott. Funcționarea într-o singură linie; rang. 2. Secvența liniară de locuri în teatru, cinema etc. Ott. Persoanele care ocupă astfel de locuri. 3. Situat într-o singură linie boxe ... Dicționar modern al limbii române Efraim
- Metode numerice de calcul în mecanica structurale ale navei. Teoria generală. Unidimensional și procesele dimensionale cvasi-o-. VS Chuvikovsky. Cartea prezintă teoria generală a rezistenței numerice, stabilității și vibrațiilor structurilor coca navei, precum și metode și algoritmi pentru aceste calcule în ceea ce privește unidimensională ... Citește mai mult Vand pentru 490 de ruble
- curs de matematică. Volumul 4. Probabilitatea, informații, statistici. Manualelor. B. Boss. Acest volum de prelegeri pe lângă temele clasice ale teoriei probabilitatilor evidențiază o serie de domenii noi, cum ar fi legea non-liniară a unui număr mare de agregare și asimptotic. ... Citește mai mult Vand pentru 416 ruble
- Culegere de probleme concurențiale în matematică cu soluții. V. S. Kuschenko. Cartea contine cele mai interesante probleme de concurență în algebra, geometria și trigonometria, oferă la testele în inuri examen de admitere secundar școli de intrare ... Citeste mai mult de 400 de ruble pentru Vand