Raspredelenie Puassona - termen de hârtie, pagina 1
Teoria probabilităților - o știință matematică care studiază modele în evenimente aleatoare. Astăzi este o știință completă, care este de mare importanță practică.
Istoria teoriei probabilității datează din secolul al XVII-lea, atunci când primele încercări de sarcini sistematice de cercetare au fost efectuate cu privire la fenomene aleatoare în masă și aparatul matematic în cauză. De atunci, multe fundații au fost dezvoltate și aprofundat la conceptele actuale, au fost deschise alte legi și regularități importante. Mulți oameni de știință au lucrat și lucrează la problemele teoriei probabilității.
Printre acestea, este imposibil să nu acorde atenție la lucrările lui Simeon Poisson Denis ((1781-1840) - matematician francez), sa dovedit mai generală decât cea a Yakova Bernulli, forma legii numerelor mari, iar primul care a aplicat teoria probabilității problemelor de foc. Numele lui Poisson este legată de una dintre legile de distribuție, care joacă un rol major în teoria probabilității și aplicațiile sale.
Această lege poate fi descrisă ca fiind un caz de limitare a distribuției binomiale atunci când probabilitatea p a evenimentului ne interesează un singur experiment este foarte mic, dar numărul de experimente m, realizate pe unitatea de timp este suficient de mare, și este bine că, în procesul de p 0 și m este produsul mp Aceasta tinde la o valoare pozitivă constantă (adică mp).
Prin urmare, legea Poisson este adesea menționată ca legea evenimentelor rare.
Raspredelenie Puassona în teoria probabilităților
Funcția și un număr de distribuție
Raspredelenie Puassona - este un caz special al distribuției binomiale (cu n >> 0 și p -> 0 (un eveniment rar)).
Matematicii cunoscute formulă pentru a calcula valoarea estimată a oricărui membru al distribuției binomiale:
unde a = n · p - parametrul Poisson (așteptare), iar dispersia este egală cu așteptările. Calculele matematice care explică această tranziție. distribuția binomială
pot fi scrise, în cazul în care ne-am stabilit p = o / n. sub forma
Deoarece p este foarte mic, este necesar să se ia în considerare numai numărul de m. mici în comparație cu n. produs
foarte aproape de unitate. Același lucru se aplică la valoarea
foarte aproape de e - o. Prin urmare, obținem formula:
numărul lui Euler (2,71 ...).
Pentru funcția de generare a magnitudinii avem:
Distribuția de probabilitate cumulativă este
O distribuție număr de variabila aleatoare X este distribuit conform legii Poisson, după cum urmează:
Fig. 1 prezintă distribuția poligoane a variabilei aleatoare X Poisson corespunzătoare diferitelor valori ale parametrului a.
În primul rând, asigurați-vă că secvența probabilităților poate fi un număr de distribuții, adică, că suma probabilităților Pm este egal cu unu.
Noi folosim extinderea funcției ex Maclaurin:
Este cunoscut faptul că seria converge pentru orice valoare a lui x. De aceea, luând x = a. obținem
Caracteristici numerice ale prevederilor distribuției Poisson
Așteptări variabilă aleatoare discretă numită suma produselor tuturor valorilor sale posibile în funcție de probabilitățile lor.
Prin definiție, atunci când ia o variabilă aleatoare discretă un set numărabilă de valori:
Primul termen din suma (corespunzând la m = 0) este zero, prin urmare, însumarea poate începe cu m = 1:
Astfel, parametrul a nu este altceva decât speranța matematică a unei variabile aleatoare X.
În plus față de așteptările, poziția variabilei aleatoare este caracterizată de moda și mediana.
Moda a unei variabile aleatoare se numește valoarea cea mai probabilă.
Pentru o valoare continuă este numit un punct de moda maxim local densitatea de probabilitate. (. Figura 2) Dacă un poligon sau curbe distribuții au un vârf, atunci distribuția se numește unimodală, în cazul în care mai mult de un maxim - multimodal (în special, distribuția având două moduri, numite bimodală). Distribuția având cel puțin antimodal numit (fig. 2 b)
Cea mai mare valoare probabilă a variabilei aleatoare numita moda, care oferă o probabilitate maximă la nivel mondial pentru distribuția variabilă aleatoare discretă sau densitatea pentru o variabilă aleatoare continuă.
Mediana - aceasta este valoarea XL. care împarte zona de sub graficul densității de probabilitate în jumătate, adică, mediana este orice rădăcină a ecuației. speranța matematică nu poate exista, iar mediana este întotdeauna acolo și poate fi determinată în mod unic.
Mediana unei variabile aleatoare se numește valoarea ei
Caracteristicile de dispersie numerice
variație a variabilei aleatoare X se numește speranța matematică a pătratul abaterii variabile aleatoare de la așteptările sale matematice:
Cu toate acestea, este mai convenabil să se calculeze următoarea formulă:
Prin urmare, vom găsi mai întâi momentul inițial al doilea X variabila:
Conform cu ceea ce sa dovedit mai devreme
Astfel, variația variabilei aleatoare distribuită conform legii Poisson, este egală cu așteptarea sa de.
Această proprietate a distribuției Poisson este adesea utilizat în practică, pentru a rezolva problema, dacă ipoteza este plauzibil ca o variabilă aleatoare distribuită de legea Poisson. Pentru acest experiment este determinat de caracteristicile statistice - așteptarea și varianța - variabila aleatoare. Dacă acestea sunt aproape, acesta poate servi ca un argument în favoarea ipotezei unei distribuții Poisson; diferența bruscă a acestor caracteristici, în contrast, argumentează împotriva unei astfel de ipoteză.
Dispersia are o dimensiune de pătrat unei variabile aleatoare, care nu este convenabil. De aceea, așa cum este folosit și valoarea indicelui de imprastiere.
Abaterea standard (abaterea standard sau standard) a unei variabile aleatoare X este valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate a dispersiei sale:
Dorința de a primi caracteristicile adimensională difuzia unei variabile aleatoare, care este independentă de scară de măsurători ale parametrilor inițiali ai fenomenelor aleatoare, de asemenea, a condus la conceptul de coeficientul de variație al variabilei aleatoare.
Coeficientul de variație - raportul (%) de deviație standard la speranța matematică: