Seria, conceptul de interval numeric, proprietăți ale serii convergente

Prima cunoștință cu seria numerică a cititorilor noștri au luat în liceu în studiul de progresie aritmetică și progresie geometrică. Din aceste lecții ați învățat că, pentru a defini aceste secvențe este necesară pentru a determina legea locației fiecărui membru al secvenței, de obicei este scris ca o formulă.

În cazul în care - o secvență infinită de numere, acesta este înregistrat în mod oficial de expresie

numita serie infinită (sau în apropiere). Puncte la sfârșitul (uneori glumă că unii și este esența seriei) arată că (1) nu are ultimul termen, este întotdeauna demn de urmat pentru fiecare termen. Astfel, numărul este suma „infinit“.

În serii scurte (1) poate fi scrisă ca,

în cazul în care indicii de mai jos și deasupra simbolului sumei indică faptul că trebuie să ia suma numerelor, atunci când n este un număr întreg de la 1 la ∞.

Numerele sunt numite membri ai seriei, în calitate de membru al unui număr de picioare pe poziția n-lea de la început - termenul său general.

Exemple de serie includ:

Întrebați un rând - aceasta înseamnă a specifica o regulă, legea educației membrilor săi, pe care o puteți găsi la oricare dintre membrii săi (amintiți-vă din nou lecții școlare pentru aritmetică și progresii geometrice). Mai multe termenul general dat de formula. De exemplu, determinată în cazul în care, astfel, în următoarea ordine:

dacă vom obține numărul

În cazul în care, în viitor, vom spune că un număr dat, se va înțelege că, având termenul său general.

Exemplul 1: Scrieti primele cinci termeni ai seriei, dacă formula din totalul membrilor săi:

Decizie. Înlocuind în formulă în loc de n mod succesiv, cu 1, 2, 3, 4, 5. Obținem:

Exemplul 2: Se înregistrează numărul total al membrilor cu formula, în cazul dat primii cinci membri:

Decizie. Cautam un model de educație a membrilor seriei. Este ușor de văzut că numitorul este numărul de 3 într-o anumită măsură. Pentru primul termen al seriei este zero grade, adică, 1 - 1, al doilea termen este egal cu 1 grad, adică 2 - 1 pentru al cincilea - 4, adică 5 - 1. În consecință, gradul trei este egal cu n - 1. La rândul său toate în numărătorul numărul este întotdeauna mai mic de 2 3n. Prin urmare, numărul total de membri cu formula:

La adăugarea unui număr finit de termeni obține întotdeauna un anumit rezultat numeric, pentru a calcula suma unui număr infinit de termeni nu poate nici om, nici Kompyuter, deoarece procesul de adăugare a unui număr de membri (prin definiție) nu se termină niciodată.

Astfel, expresia (1) este formală, deoarece suma unui număr infinit de termeni care urmează să fie determinată. Cu toate acestea, în această expresie, pune semnul însumare și a însemnat că termenii seriei cumva adăuga în sus. Cantitatea de oricare dintr-un număr finit de termeni vor fi găsite în cazul în care acestea sunt pliate succesiv câte unul. Acest lucru duce la gândul pus în corespondență cu un număr de un număr și numesc suma seriei. În acest scop, a introdus conceptul de sume parțiale ale seriei.

Cantitatea aproximativă (1)

Ei au numit sume parțiale.

Aceasta este, suma primilor n termeni ai seriei se numește suma parțială n-lea de:

Sumele parțiale au un număr finit de termeni, aceasta este suma „normală“, ei pot găsi, conta. Pentru un număr obținem o secvență infinită a sumelor sale parțiale.

Dacă valorile sumelor parțiale sub creștere nerestricționată n. adică, atunci când caută într-o oarecare număr S. adică are o limită

atunci seria se numește convergentă.

Acest număr se numește suma seriei S. În acest sens, putem scrie această egalitate:

Un exemplu de o serie convergentă:

Nu pentru oricare dintr-un număr al secvenței sumelor sale parțiale tinde la o anumită limită. De exemplu, pentru un număr de

sume parțiale iau alternativ valorile 1 și 0:

În cazul în care limita secvenței de sume parțiale ale seriei nu există, atunci seria se numește divergente. Seria Divergente nu are nici o sumă.

Exemplul 3. Pentru a investiga convergența seriilor (2).

Decizie. Forma sumele parțiale ale seriei:

Noi le prezentăm în formă de

Ușor pentru a vedea regularitate în formarea sumelor parțiale, fiecare reprezintă diferența dintre una și o fracție a cărei numărător este 1 și numitorul sumă parțială n-lea este egal cu n + 1, adică

Să ne găsim limita unei secvențe de sume parțiale:

În consecință, numărul (2) este convergent, secvența sa este 1.

Investigarea convergența seriilor (3):

numita geometrică, deoarece membrii săi sunt membri ai unei progresii geometrice, primul termen este egal cu un. și q numitor.

Luați în considerare suma parțială a acestei serii:

Acesta este egal cu suma o progresie geometrică, dacă