Seria, în matematică

1. Definiții. Un număr este o secvență de elemente desenate pe unele legi. În cazul în care un număr dat, înseamnă că legea, cu care puteți crea orice număr de elemente dintr-o serie de elemente de proprietate se disting serii de numere, numărul de funcții și unele funcții. Iată câteva exemple.

Există o serie de numere naturale;

- Un număr de funcții exponențiale sau serii de putere

Aici, numărul unui a1 0.. a2. o. scris pe unele legi, de exemplu.

1, x, x 2 /(1.2), x /(1.2.3 3). x n /(1.2. n).

0, x, x 2/2 x 3/3, x 4/4. (-1) n-1 x n / n.

Pentru a calcula valoarea numerică a unei expresii este necesar să se efectueze o serie de acțiuni. Ex.

√ [(35 - 3) / 2] = √ [32/2] = √16 = 4.

Cu ajutorul numărului de acțiuni a căutat cel mai mare divizor comun a două numere date.

menționate. infinit dacă după fiecare element are un element uk + 1; în caz contrar, numărul menționat. end. Ex.

există un număr finit, pentru că nu există elemente după elementul 10.

2. Numărul de definit următor.

De o importanță deosebită sunt seria infinită a formei

unde a1, a2, a3. și n. sunt numere întregi pozitive, A0 în mod arbitrar; fiecare dintre celelalte numere a1, a2, a3,. mai mic de 10. Acest număr poate fi apelat numărul, deoarece este posibil să se compare acest număr cu numere raționale (cm.), este posibil să se stabilească conceptul de egalitate, sumă, produs, diferența și astfel de numere private.

Seria (1) este notat pentru concizie odnoyu litera a.

Se spune că abolshe număr rațional p / q. dacă n este suficient de mare, inegalitatea

În cazul în care cel puțin n

dar suficient de mare pentru n

unde r numărul / s arbitrar ales mai mic de p / q. aceasta este considerată ca fiind egală cu p / q.

Pe baza acestui număr

9/10 9/10 9/10 2 3.

este unitatea. Această egalitate este notat cu 0, 999 = 1.

În cazul în care nu este egal cu 9, și toate numerele ulterioare

Se poate întâmpla ca toate elementele (1) începând cu ak + 1 sunt egale cu zero. În acest caz, exprimat în conformitate cu definiția

Acest tip de număr numit. zecimale efect.

Deoarece aritmetică este cunoscut faptul că pentru manipularea fracției comune în fracția zecimală obținută finit sau infinit periodice. Fiecare fracție zecimală periodică poate fi transformată într-o fracție ordinară. Rezultă că o zecimală infinită non-periodice nu poate fi un număr rațional, și, prin urmare, reprezintă numărul de un tip special numit irațională (a se vedea.).

3. convergență și divergență de serie. o serie de numere

numit. convergent dacă există un (rațional sau irațional), că creșterea valorii numerice a diferenței n

Devine și rămâne în mod arbitrar mici. Un astfel de număr se numește. o sumă de număr în acest caz, scrie

și această egalitate se numește. o descompunere a unui număr infinit dacă acest număr nu există și, numărul (2) se numește. divergente.

Cel mai important exemplu al unei serii convergente este progresie geometrică (cm.).

numitorul q este o valoare numerică mai mică decât unu. În acest caz, avem descompunerea

Câteva exemplu divergente pot servi

Acest număr se numește. armonic, ca la fiecare trei succesive ale membrilor săi formează o proporție armonică (sunt în relație armonică; cm.). expresie

Nu are nici un sens.

În cazul în care numărul de membri ai armonice iau alternativ cu semnele + și -, obținem o expresie serie convergentă

este egal cu logaritmul 2, luate la baza e (cm.).

Neputând expună în detaliu semnele de convergență, observăm doar următoarea teoremă.

Acest număr - convergentă în cazul în care numărul de module (cm.) Convergenta membri.

în care numărul v0, v1. v2, v3. pozitiv, convergentă, în cazul în care creșterea cu n

Un număr de termeni pozitivi

această serie diverge în cazul în care

În cazul în care numărul de termeni pozitivi

unde r este independent de n. # 945;> 1 și # 952; (N), cu o valoare numerică este întotdeauna mai mică decât un număr pozitiv, atunci seria converge pentru r> 1 și diverge când r = 1 sau mai puțin (tăbăcării, „Introducere à La variabilă Theorie des fonctions d'une“, pag. 84).

convergentă, dar numărul de divergenta membrilor sai module, noi spunem că seria (4) converge condiționat. Ex.

Un număr numit. absolut convergentă, în cazul în care numărul de module sale membri convergente.

Suma condiționat serie convergentă variază în funcție de ordinea membrilor. Ex.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +. = Log2,

dar 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +.

= 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +. 2 = 1/2 log.

Suma seriei absolut convergentă nu depinde de ordinea membrilor săi.

Dacă numerele a și b poate fi extins într-o serie absolut convergente

absolut convergente, și, în plus,

5. convergență uniformă. Să presupunem că numărul dat

membrii care sunt funcții de una variabilă x. care pot primi atât reale și imaginare (cm.) valori. Setul de valori ale lui x, la care seria converge, formând o regiune așa-numita convergență.

converge doar la x = 0.

divergente la fiecare x.

adunare. pentru fiecare valoare a lui x. În cazul în care o serie de putere # 945; 0. # 945; 1x, # 945; 2x 2.

adunare. la o anumită valoare a lui x nu este egal cu zero, atunci seria converge. și cel puțin x. Modulul este mai mic decât numărul de unele R. Dacă folosim reprezentarea geometrică a valorilor imaginare m (vezi.), putem spune că domeniul de convergență al acestei serii este intervalul razei R.

Un exemplu este progresie geometrică

1, x. x x 2. 3. cerc a cărui rază de convergență este egală cu unitatea.

Dacă x aparține domeniului de adunare. Un număr (5), atunci pentru orice n. mai mare decât unele număr t

În general, t depinde de x și # 949;, dar poate, în cazuri speciale, astfel încât numai depinde de # 949;, când valorile lui x aparținând unei anumite regiuni (S). În acest caz, seria (5) se numește. convergent uniform în zona (S).

De exemplu, ia în considerare numărul de

reale limitate și valori pozitive ale lui x.

Această serie converge. în timp ce atunci când x este mai mic sau = 1

Pentru inegalitatea

noi trebuie să ia n> Jurnal # 949; / logx

În continuare. în acest caz,

Dupa cum se poate vedea, că este independentă de x. Nu contează cât de mare a fost m. există valori ale lui x în intervalul (0, 1), astfel încât inegalitatea (7) nu este îndeplinită pentru orice n, mai mare decât m. În cazul în care X = 1, atunci (7) este îndeplinită dacă n este mai mare sau = 1

Acest lucru dovedește că numărul considerat convergent inegal. între 0 și 1.

0

t = Log # 949; / Log (1 - # 945;) și n = m sau mai mare

În continuare. Seria (6) converge uniform. în intervalul (0, 1 - # 945;).

Dacă în convergența uniformă a unui număr de membri

sunt funcții continue de x. atunci suma numărului de - o funcție continuă (vezi discontinuității.).

Converge uniform. Mai multe termwise posibil să integreze sau diferențiere.

Problema numărului de integrare este stabilit în fiecare curs pe calculul integral. În ceea ce privește numărul de diferențiere, ceva despre acest lucru, a se vedea lucrările lui Weierstrass ca :. "Mathematische Werke", Volumul 2-lea ( "Abhandlungen", II, pp 205-208.).

au convergența uniformă a convergenței în interiorul cercului.

6. Extinderea funcțiilor în serie. În cele ce urmează vom presupune că variabila independentă este real. Prin intermediul unei formule Maclaurin obținută prin următoarea descompunere (Cm.):

(Aceste formule sunt valabile pentru orice x).

Pentru a putea folosi formula (9) pentru a calcula, de exemplu. cos 2 °, este necesar să se substituie în locul x raport cu raza lungimii arcului, care conține 2 grade.

În formele. (11) logaritmul este luată la baza e. Această formulare. incomod pentru a calcula logaritmi, deoarece este necesar să se ia o mulțime de număr de membri chiar și o precizie minoră. O mai convenabil pentru formula de calcul al 13-lea, care este derivat din formula (11) presupunând

jurnalul funcția de expansiune (1 + x) - log (l - x).

Presupunând că a = 1, z = 1, am log2;

"A = 1, z = 1," log5;

a + z = 3, a = 4-80, „log3;

Multiplicarea logaritmii naturali ai rezultatelor acestor numere în

M = 1 / log10 = 0,43429 44819 03251 82765.

obține un logaritm zecimal (în baza 10) din aceleași numere (cm.).

Formulare. (12) deține atunci când x = 1, dacă m> -1, iar la x = -1, dacă m> 0 (Abel, „Oeuvres complètes“, 1881, p. 245).

Cu fisiune directă a extins într-o serie de putere funcții raționale. Este posibil să se utilizeze în acest scop și metoda de nedeterminat Coeficientul s. Presupunând, de exemplu.

Acest tip de număr numit. returnabile. Din ecuațiile de mai sus determinat secvențial y 0. y1. y2.

Descompunerea acestei funcții există un număr folosind calculul integral, dacă se cunoaște descompunerea în serie derivat. În acest fel, obținem o extindere

valabile pentru valori ale lui x satisfac

Există arc tg arc x sinx și sunt numere care se află între -π / 2 și π / 2 și tg este egal cu sau sin x.

Un număr (14) folosind formula Mechena (Machin)

π / 4 = tg 4arc (1/5) - arc tg (1/239)

Acesta vă permite să calculeze rapid π cu un număr mare de zecimale. Astfel Shanks (Shanks) calculat π cu 707 caractere zecimale. Extinderea funcțiilor în serie trigonometrice și extinderea funcțiilor eliptici vor fi explicate mai târziu.