site-ul personal - sinus, cosinus, tangenta, cotangentă

Sinus, cosinus, tangenta, cotangentă

Înainte de a trece la această secțiune, ne amintim definiția sinus și cosinus, prezentate în manualul de geometrie în clasele 7-9.

- Sinus unghi ascuțit t triunghi dreptunghic egal cu raportul dintre piciorul opus ipotenuzei (Figura 1):

- Cosinusul unghiului ascuțit al triunghiului dreptunghic este egal cu t în raport cu ipotenuza piciorului adiacent (Figura 1):

Aceste definiții se aplică triunghiul dreptunghic este un caz special al definițiilor, care sunt prezentate în această secțiune.

Am pus același triunghi dreptunghic în cercul numeric (figura 2).

Vedem că catete b este egală cu o anumită valoare a lui y în axa Y (ordonată), iar piciorul este egală cu o anumită valoare a lui x în axa X (abscisă). Un ipotenuza este egală cu raza cercului (R).

Astfel, formulele noastre dobândesc un aspect diferit.

Deoarece b = y. a = x. c = R, atunci:

De altfel, în timp ce un alt fel de câștig, desigur, și formula tangentă și cotangentă.

Deoarece tg t = b / a, ctg t = a / b, că alte ecuații sunt de asemenea adevărate:

Dar să revenim la sinus și cosinus. Avem de a face cu cercul numeric, în care raza este egală cu 1. Deci, se dovedește:

Așa că am ajuns la a treia, o formă mai simplă de formule trigonometrice.

Aceste formule sunt utile nu numai în acută, ci și la orice alt unghi (obtuz sau dislocat).

Cosinusul t cerc numeric numit abscisa de cifre:

Sinusul T - este ordonata sa:

Tangenta T - este raportul dintre sinusul la cosinusul:

Cotangentă de T - este raportul dintre cosinusul la sinus:

Cosinusul și sinusul principalele puncte ale cercului real:

După cum ne amintim cosinus și valorile sinusul principalele puncte ale cercului reale.

În primul rând trebuie să știți că, în fiecare pereche de numere de valori cosinus sunt primele valori ale sinusul - a doua.

1) Vă rugăm să rețineți că pentru toate pluralitate numerică de puncte ale cercului, avem de-a face doar cu cele cinci numere (în modul):

Asigurați-vă pentru o „descoperire“ - și eliminați frica psihologică a abundenței numerelor: acestea sunt, de fapt, doar cinci.

2) începe cu numerele întregi 0 și 1. Acestea sunt numai pe axele de coordonate.

Nu este nevoie să memoreze în cazul în care, de exemplu, cosinusul modulului are o identitate și unde 0.

La capetele axei sinusoidale (axa y) sunt sinus modulo egale și cosinus sunt egale cu 1. 0.

Acum, despre semnele. marca zero nu are. În ceea ce privește 1 - atunci trebuie doar să-și amintească cel mai simplu lucru din clasa a curs 7 știți că, pe axa x la dreapta centrului de coordonate carteziene - numerele pozitive la stânga - negativ; pe axa y în sus de centru sunt numere pozitive, în jos - negativ. Și atunci nu puteți merge în neregulă cu un semn 1.

3) Ne întoarcem acum la valorile fracționare.

- În toate numitorul fracțiilor - același număr 2. Nu este greșit în ce să scrie în numitor.

- La mijlocul celei de a patra cosinusul și sinusul sunt exact aceeași valoare modulo: √2 / 2. În cazul în care acestea sunt cu un plus sau minus - a se vedea tabelul de mai sus. Dar este puțin probabil ca ai nevoie de un astfel de tabel: știi că e din aceeași clasă a cursului 7.

- Toate cele mai apropiate de puncte axa x sunt absolut identice în valoare absolută a cosinusul și sinusul: (√3 / 2, 1/2).

- Valorile tuturor cele mai apropiate de punctele de axa y prea, sunt identice în valoare absolută - și acestea sunt același număr, dar ele sunt locuri „schimbate“: (1/2; √3 / 2).

Acum, despre semnele - există o alternanță de interesant (deși cu semne, credem că ar trebui să fie ușor de înțeles și așa).

Dacă în primul trimestru al valorii și cosinus și sinus cu un semn plus, în diametral opuse (a treia) sunt negative.

În cazul în care, în al doilea trimestru cu semnul minus numai cosinus, în diametral opuse (a patra) - numai sinusurile.

Rămâne doar să se amintească faptul că, în fiecare combinație de valori ale sinus și cosinus primul număr - este cosinusul al doilea număr - sinusul.

- Să acorde o atenție la un alt model: sinusul și cosinusul punctele diametral opuse ale cercului sunt absolut egale în mărime. Să luăm, de exemplu, puncte de π / 3 și 4π / 3 opuse:

cos tt / 3 = 1/2, păcatul π / 3 = √3 / 2
cos 4π / 3 = -1/2, păcat 4π / 3 = -√3 / 2

Valori diferite de cosinus și sinus două puncte opuse numai în semn. Dar chiar și aici există un șablon: sinus și cosinus de puncte diametral opuse au întotdeauna semne opuse.

Valorile cosinus și punctele Sines ale cercului real, crește în mod constant sau descrește în ordinea corectă de la cea mai mică valoare la cel mai mare și invers (a se vedea „Creșterea și scăderea funcțiilor trigonometrice“ - cu toate acestea, acest lucru este ușor de văzut, dar doar uitându-se la cercul numeric. de mai sus).

În ordinea descrescătoare spire este alternanța de valori:

√2 √3 1 ianuarie √2 √3
1; -; -; -; 0; - -; - -; - -; -1
2 2 2 2 2 2

Acestea sunt strict crescătoare în ordine inversă.

Realizând acest model simplu, ai învățat destul de ușor pentru a determina valorile sinus și cosinus.

Tangenta și cotangentă a principalelor puncte ale cercului reale.

Cunoașterea cosinusul și sinusul punctelor circumferențiale numerice, se poate calcula cu ușurință tangentă și cotangentă lor. Împărțiți sinus și cosinus - obținem un bronz. Împărțiți cosinusul și sinusul - avem un pat de copii. Rezultatele acestei diviziuni - în figură.

NOTĂ. În unele tabele valorile tangentă și cotangentă modulul egal √3 / 3, indicat ca 1 / √3. Nu există nici o eroare, deoarece este un număr echivalent. În cazul în care numărătorul și numitorul 1 / √3 înmulțit cu √3, obținem √3 / 3.

Ca amintesc tangentă valoarea și punctele cotangentă principale ale cercului reale.

Aici sunt aceleași legi ca și sinus și cosinus. Și există doar patru numere (în modul): 0, √3 / 3, 1, √3.

La capetele axelor - cratimele și zerouri. Liniuțele indică faptul că punctele de date ale tangenta sau cotangentă nu este pertinentă.

Cum să vă amintiți unde cratimele, dar unde zerouri? Aceasta ajută regula.

Tangent - este raportul dintre sinusul la cosinusul. La capetele axei de sine (axa y) există tangente.

Cotangentă - este raportul dintre sinusul la cosinusul. La capetele axei cosinus (axa x) cotangentă nu există.

Punctele rămase sunt întrețesut doar trei numere: 1, √3 și √3 / 3 semne plus sau minus. Cum de a face cu ei? Amintiți-vă (și mai bine imagina) trei condiții:

1) Tangenta și cotangentă de la mijlocul trimestrului sunt în modulul 1.

2) tangentă și cotangentă cel mai apropiat de puncte pe axa x din modulul sunt √3 / 3; √3.

3) tangentă și cotangentă cel mai apropiat de puncte pe axa y din modulul sunt √3; √3 / 3.

Nu confunda cu semnele - si esti un cunoscator mare.

Este util să ne amintim cum să crească și să scadă tangenta și cotangentă pe numărul de cerc (cercul de mai sus sm.chislovuyu sau „Creșterea și scăderea funcțiilor trigonometrice“). La acel moment va fi mai bine înțeleasă și ordinea succesiunii tangenta și cotangentă valorile.

Proprietățile trigonometrice numere numerice circumferință.

Imaginați-vă că un anumit punct are o valoare T M.

Explicație. Să punctul M este în primul trimestru. Ea are o valoare pozitivă de sinus și cosinus. Atragem din acest punct diametru - adică segmentul care trece prin centrul axe de coordonate și care se termină într-un punct opus circumferențial. Notăm acest punct scrisoarea N. După cum se poate vedea, MN cu arc este egală cu jumătate din circumferința. Știți deja că jumătate din cerc - aceasta este o valoare egală cu tt. Prin urmare, punctul N este situat la o distanță de punctul pi M. Cu alte cuvinte, în cazul în care punctul M pentru a adăuga pi distanță, obținem punctul N, care este opus. Acesta este situat în al treilea trimestru. Verificați și vezi: cosinus și sinus termeni N - cu „minus» (x și y sunt negative).

Tangenta și punctul cotangentă M sunt pozitive. O tangentă și punctul cotangentă N? Răspunsul este simplu: pentru că tangenta și cotangentă - este raportul dintre sinus și cosinus. În exemplul nostru, sinus și cosinus termenii N - cu semnul „minus“. Deci:

-sin T
tg (t + π) = ---- = tg t
-cos T

-cos T
ctg (t + π) = ---- = ctg t
-sin T

Noi am demonstrat că tangenta și cotangentă puncte diametral opuse ale cercului nu numai că au aceeași valoare, dar același semn.

Proprietatea 4: Dacă două puncte ale cercului sunt în cadranele adiacente, distanța dintre puncte este egală cu un sfert din circumferința sinusului un punct este egal cu cosinusul celuilalt cu același semn, iar cosinusul un punct este egal cu sinusul secundă și opusă.

www.zvuk.a5.ru