Un sistem de ecuații liniare
Sistem de ecuații liniare m în n necunoscute este numit un sistem de forma
unde aij și bi (i = 1, ..., m; b = 1, ..., n) - unele numere cunoscute și x1, ..., xn - necunoscut. Desemnarea coeficienților ij primul indice i reprezintă numărul ecuației, iar al doilea j - un număr necunoscut, în care există acest factor.
Coeficientii necunoscutele vor fi scrise sub forma unei matrice, pe care o numim matricea sistemului.
Numerele de pe partea dreaptă a ecuațiilor, b1, ..., bm sunt numite membri liberi.
Un set de n numere c1, ..., cn se numește o soluție a sistemului, în cazul în care fiecare ecuație a sistemului devine egalitate după substituirea numerelor c1, ..., cn loc de x1 necunoscutelor corespunzătoare, ..., xn.
Sarcina noastră va fi de a găsi soluții ale sistemului. În acest caz, pot apărea trei situații:
- Sistemul poate avea o soluție unică.
- Sistemul poate avea un număr infinit de soluții. Ex. Soluția acestui sistem este orice pereche de numere, care diferă în semn.
- Iar al treilea caz, atunci când sistemul nu are soluții. De exemplu, în cazul în care o soluție a existat, x1 + x2 egal cu zero și unu simultan.
Sistemul de ecuații liniare are cel puțin o soluție, numită articulația. Altfel, adică în cazul în care sistemul nu are nici o soluție, atunci aceasta se numește inconsistente.
Luați în considerare modalități de a găsi soluții ale sistemului.
Algoritmul pentru sistemele de ecuatii liniare
Matricele oferă o oportunitate de a nota un sistem de ecuații liniare. Având în vedere un sistem de 3 ecuații cu trei necunoscute:
Să considerăm matricea matricei sistemului și coloanele de necunoscut și termenii liberi
și anume ca urmare a produsului obținem laturile din stânga ale sistemului. Apoi, folosind definiția egalității matricelor de sistem poate fi scris ca
Aici matricea A și B sunt cunoscute, iar matricea X este necunoscută. Este necesar să se găsească și, pentru că elementele sale sunt soluția acestui sistem. Această ecuație se numește ecuația matricei.
Să determinantul este nenul | A | ≠ 0. Deci, ecuația matrice este rezolvată după cum urmează. Înmulțind ambele părți ale ecuației lăsate de matricei A -1. A. Matricea inversă. Deoarece A -1 = E A și E # 8729; X = X. obține soluția ecuației matricei X = A -1 B.
Rețineți că, deoarece matricea inversă poate fi găsit pentru matricele pătrate numai, atunci metoda de matrice pot fi rezolvate numai acele sisteme în care numărul coincide cu numărul de ecuații necunoscutele. Cu toate acestea, înregistrarea matricei sistemului este posibilă în cazul în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute, atunci matricea A nu este un pătrat, și, prin urmare, este imposibil să se găsească o soluție la sistem în formă de X = A -1 B.
Exemple. Rezolva sistemul de ecuații.
Am găsit o matrice inversă a matricei A.
Astfel, x = 3, y = - 1.
Ne exprimăm matricea X dorită dintr-o ecuație predeterminată.