Cum de a găsi derivata

Problema de a găsi derivata unei funcții date este o majoră în cursul matematică de liceu și în învățământul superior. Este imposibil de a explora pe deplin funcția de a construi graficul său, fără a lua derivatul său. Derivata funcției poate fi ușor de găsit, cunoașterea regulilor de bază de diferențiere, precum și un tabel de derivați de funcții de bază. Să vedem cum să găsească derivata funcției.

Derivata unei funcții se numește limită a raportului funcției creștere cu creșterea argumentului, în cazul în care increment argumentul tinde la zero.

Pentru a înțelege această definiție este destul de dificil, deoarece conceptul de limită nu a fost pe deplin studiate la școală. Dar, în scopul de a găsi derivați de diferite funcții, să înțeleagă definiția nu este necesară, lăsați-l să experți și matematicieni trece direct la derivatul.

Procesul de constatare a derivatului se numește diferențiere. În caracteristici de diferențiere, vom obține o nouă funcție.

Pentru denumirile lor vor utiliza literele f, g, și altele.

Există mai multe semne posibile de derivați. Vom folosi bara. De exemplu, înregistrarea g „înseamnă că vom găsi derivata funcției g.

derivați ai Tabelul

Pentru a răspunde la întrebarea cum să găsească derivatul, trebuie să aducă masa de derivați de funcții de bază. Pentru a calcula derivata funcțiilor elementare nu sunt în mod necesar efectua calcule complexe. Doar uita-te la valoarea sa în tabelul de derivați.

Exemplul 1. Găsiți derivatul y = 500.

Vedem că este o constantă. Ca derivați Tabelul cunoscut faptul că constanta derivatul este zero (formula 1).

Exemplul 2. Găsiți derivata funcției y = x 100.

Această funcție de putere în exponent este de 100, și pentru a găsi derivatul trebuie multiplicată printr-o funcție pentru a înregistra și de a reduce la 1 (Formula 3).

Exemplul 3. Găsiți derivatul de y = 5 x

Aceasta este funcția exponențială, vom calcula derivatul cu formula 4.

Exemplul 4. Găsiți derivata funcției y = x log4

Găsim derivata logaritmului cu formula 7.

reguli de diferențiere

Să ne uităm acum la modul de a găsi derivata funcției, în cazul în care nu este în tabel. Cele mai multe dintre funcțiile care nu sunt elementare, și reprezintă combinații de funcții elementare folosind operații simple (adunare, scădere, înmulțire, împărțire și înmulțire cu un număr). Pentru a găsi derivații lor trebuie să cunoască regulile de diferențiere. alte litere f și g sunt desemnate funcții și C - constantă.

1. Coeficientul constant poate fi luat ca un semn al derivatului

Exemplul 5. Găsiți derivata y = 6 * x 8

Ia un coeficient constant și diferențiabilă numai 6 x 4. Aceasta este o funcție de putere, care este derivata din ecuația 3 găsim derivați din tabel.

(6 * x 8) = 6 * (x 8) = 8 * 6 7 * x * x 48 = 7

2. Suma derivat egală cu suma derivatelor

Exemplul 6. Găsiți derivata funcției y = x + sin x 100

Funcția este suma a două funcții, dintre care derivații putem găsi în tabel. Deoarece (x 100) = 100 x 99 și (sin x) = cos x. Derivata unei sume este egală cu suma acestor derivați:

(X 100 + sin x) „= 100 x + cos x 99

3. diferența Derivata este egal cu diferența dintre derivații

Exemplul 7. Găsiți derivata funcției y = x 100 - cos x

Această funcție este diferența dintre cele două funcții, dintre care derivații putem găsi, de asemenea, pe masă. Apoi, derivatul diferenței este egal cu diferența dintre derivații și nu uitați să schimbați semnul deoarece (cos x) „= - sin x.

(X 100 - cos x) „= 100 x 99 + sin x

Exemplul 8. Găsiți derivata y = e x + tg x- x 2.

În această funcție, există, de asemenea, suma și diferența, găsi derivat din fiecare termen:

(E x) „= e x. (Tg x) „= 1 / cos 2 x, (x 2) = 2 x. Apoi, derivata funcției inițiale este:

(E x + tg x- x 2) „= e x + 1 / cos 2 x -2 x

4. Lucrările derivate

Exemplul 9. Găsiți derivata funcției y = cos x * e x

Pentru a găsi primul derivat al fiecărui factor (cos x) '= - sin x și (e x)' = e x. Acum vom înlocui toate formula produsului. Un derivat al primei funcții înmulțim doilea și se adaugă produsul la prima funcție a derivatei a doua.

(Cos x * e x) „= e x cos x - e x * sin x

5. privat derivate

(F / g) '= f' * g - f * g „/ g 2

Exemplul 10. Găsiți derivata funcției y = x 50 / sin x

Pentru a găsi derivata privat, găsi mai întâi derivata numărătorul și numitorul separat: (x 50) = 50 x 49 și (sin x) „= cos x. Substituind în formula derivata privat primi:

(X 50 / sin x) „= 50x * sin x 49 - 50 x * cos x / sin x 2

Derivata funcției compozit

Funcția Complex - această funcție este asigurată de o compoziție de mai multe funcții. Pentru a găsi derivata unei funcții compozit, deoarece există o regulă:

Să vedem cum să găsească derivata unei funcții. Să y = u (v (x)) - o funcție complexă. U funcție este declarat a fi extern, și v - interior.

y = sin (x 3) - funcții complexe.

Apoi, y = sin (t) - o funcție externă

t = x 3 - intern.

Să încercăm să calculeze derivata acestei funcții. Prin derivați cu formula pentru a multiplica funcțiile interne și externe.

(Sin t) „= cos (t) - derivat cu o funcție externă (unde t = x 3)

(X 3) „= 3x 2 - funcția intern derivat

Atunci va (sin (x 3)) „= cos (x 3) * 3x 2 - derivat cu o funcție complexă.