ecuații liniare, exemple, soluții

După ce am aflat că o astfel de ecuație. și suntem capabili de a rezolva cele mai simple dintre ele, în care există un termen necunoscut, reduce multiplicatorul, etc. este logic să se familiarizeze cu ecuațiile și alte specii. Următoarele ecuații liniare sunt în coadă. studiu concentrat care începe la lecții algebra în clasa a 7-a.

Este clar că trebuie să explicăm mai întâi ceea ce o ecuație liniară pentru a defini o ecuație liniară, coeficienții săi, pentru a arăta aspectul de ansamblu. Apoi, puteți înțelege modul în care face o ecuație liniară, în funcție de valorile coeficienților și rădăcinile sunt localizate. Acest lucru va permite să meargă la exemple de rezolvare, și, astfel, să consolideze studiul teoriei. În acest articol, vom face: în detaliu insista asupra tuturor aspectelor teoretice și practice legate de ecuații liniare și soluțiile lor.

Doar spun că aici vom lua în considerare doar ecuația liniară cu o singură variabilă, și deja într-un articol separat, vom învăța principiile soluției de ecuații liniare cu două variabile.

Navigare în pagină.

Ce este o ecuație liniară?

Determinarea ecuații liniare este dată cu referire la dosarul lui. Și, în diferite cărți de matematică și algebră formularea definițiilor de ecuații liniare au unele diferențe nu afectează esența întrebării.

De exemplu, într-o ecuație liniară definită de algebra manual pentru gradul 7 Yu et al Makaricheva urmează .:

Ecuația forma a · x = b. unde x - variabilă, a și b - sunt numere, se numește o ecuație liniară cu o singură variabilă.

Dăm câteva exemple de ecuații liniare care corespund definiției sonor. De exemplu, un 5 · x = 10 - o ecuație liniară cu o singură variabilă x. Aici, un factor este 5. Numărul și b este 10. Un alt exemplu: -2,3 · y = 0 - aceasta este, de asemenea, o ecuație liniară, dar variabila y. în care a = 2,3 și b = 0. A ecuații liniare în x = -2 și -x = 3,33 o coeficienți numerici nu sunt prezente în formă explicită și sunt 1 și -1, respectiv, în care prima ecuație b = -2. iar în al doilea - b = 3,33.

Un an mai devreme, în manual matematică Vilenkina N. Ya. Ecuații liniare, cu o adăugare necunoscută de ecuații a · x = b pâslă și ecuații care pot conduce la această formă prin termeni de transfer de la una la alta parte a ecuației cu semnul opus și prin reducerea termeni similari. Conform acestei definiții, ecuațiile formei 5 · x = 2 · x + 6. etc. prea liniar.

La rândul său, algebra manual pentru 7 clase AG Mordkovich dă această definiție:

Ecuația liniară cu o variabilă x - este o ecuație de forma a · x + b = 0. în cazul în care a și b - sunt numere, numite coeficienți ai ecuației liniare.

De exemplu, ecuații liniare ale acestui tip sunt 2 · x-12 = 0. este un coeficient egal cu 2 și b - este egal cu -12. și 0,2 · y + 4,6 = 0 cu coeficienți a = 0,2 și b = 4,6. Dar, în același timp, există exemple de ecuații liniare ale formei nu este o · x + b = 0. și · x = b. de exemplu, 3 · x = 12.

Să ne să avem în viitor, a existat ambiguitate, o ecuație liniară cu o singură variabilă x și coeficienții a și b, ne referim la ecuația de forma A · x + b = 0. Acest tip de ecuație liniară este cea mai justificată, deoarece ecuația liniară - este ecuația algebrică a primului grad. Toate celelalte ecuații de mai sus, și ecuațiile sunt echivalente prin transformare pentru a forma a · x + b = 0. Vom numi ecuații reductibilă la ecuații liniare. Cu această abordare, ecuația 2 · x + 6 = 0 - o ecuație liniară, un 2 · x = -6. 4 + 25 · y = 6 + 24 · y. 4 · (x + 5) = 12, etc. - această ecuație liniară redusă.

Cum de a rezolva ecuații liniare?

Acum este timpul pentru a afla cum să rezolve ecuația liniară · x + b = 0. Cu alte cuvinte, este timpul pentru a afla dacă rădăcinile unei ecuații liniare, și dacă da, cât de multe și cum să le găsească.

Disponibilitatea rădăcinii ecuației liniare depinde de valorile coeficienților a și b. În acest caz, ecuația liniară · x + b = 0 are

• singură rădăcină când un ≠ 0.
• Ea nu are rădăcini la = 0 și b ≠ 0.
• are infinit mai multe rădăcini atunci când a = 0 și b = 0. În acest caz, orice număr este rădăcina unei ecuații liniare.

Să ne explicăm modul în care au fost obținute aceste rezultate.

Știm că pentru a rezolva ecuațiile se pot deplasa de la sursa la ecuația echivalentă cu ecuația. care este, de ecuații cu aceleași rădăcini, sau precum originalul, nu au rădăcini. În acest scop, următoarele sunt de conversie echivalente pot fi utilizate:

• Termenul de transfer dintr-o parte a ecuației la celălalt cu semnul opus,
• și înmulțirea sau împărțirea pe ambele părți cu același număr nenul.

Deci, într-o ecuație liniară cu un tip o variabilă · x + b = 0, putem amâna pe termen b de pe partea stanga in partea dreapta cu semnul opus. În această ecuație are forma a · x = -b.

Și apoi imploră împărțirea ambelor părți ale ecuației de numărul a. Dar există un singur lucru: un număr poate fi zero, caz în care diviziunea este imposibilă. Pentru a face față acestei probleme, în primul rând, presupunem că un număr de non-zero, iar un caz este zero, ia în considerare separat mai târziu.

Deci, atunci când un non-zero, atunci putem ambele părți ale ecuației o · x = -b împărțit într-un. atunci este convertit în forma x = (- b) # 58; a. acest rezultat poate fi scris folosind un slash ca.

Astfel, atunci când o ecuație a ≠ 0 liniar · x + b = 0 este echivalentă cu ecuația. în cazul în care puteți vedea rădăcină.

Este ușor de a arăta că această rădăcină este unic, adică, ecuația liniară nu are alte rădăcini. Acest lucru vă permite să facă metoda de contradicție.

Notăm rădăcina atât x1. Să presupunem că există o rădăcină a unei ecuații liniare, care este notată cu x2. in care x2 ≠ x1. care, prin definiție, un număr egal echivalente cu termenii -X2 diferență x1 ≠ 0. Deoarece X1 și X2 rădăcini liniare ecuație o · x + b = 0. atunci avem ecuația numerică · x1 + A b = 0 și · x2 + b = 0. Putem realiza o scădere a părților relevante ale acestor ecuații care ne permit să facă proprietățile ecuații numerice. Avem o · x1 + b- (a · x2 + b) = 0-0. în cazul în care un · (x1 -x2) + (b-b) = 0 și apoi o · (-x2 x1) = 0. Dar această egalitate este imposibil ca atât un ≠ 0 și x1 -X2 ≠ 0. Deci, avem o contradicție, ceea ce demonstrează unicitatea rădăcina ecuației liniară · x + b = 0 pentru ≠ 0.

Așa că am decis să o ecuație liniară · x + b = 0 pentru o ≠ 0. Primul rezultat este dat la începutul acestui paragraf, este justificată. Există încă două care îndeplinesc condiția a = 0.

Când a = 0 liniară ecuație a · x + b = 0 devine 0 · x + b = 0. Din această ecuație și proprietățile de multiplicare a numerelor la zero, rezultă că, indiferent de numărul nu am luat ca x. când este substituită în ecuația 0 · x + b = 0 va numeric egalitatea b = 0. Această ecuație are atunci când b = 0. iar în alte cazuri, atunci când b ≠ 0 este o egalitate falsă.

Prin urmare, atunci când a = 0 și b = 0 oricare număr de rădăcină al unei ecuații liniare a · x + b = 0. deoarece în aceste condiții substituirea oricărui număr x dă egalitate numerică corectă 0 = 0. Și când o ecuație liniară 0 = 0 și b ≠ a · x + b = 0 nu are rădăcini, deoarece în aceste circumstanțe x substituția oricărui număr de conduce la o egalitate numerică false b = 0.

Aceste studii fac posibilă generarea secvenței de acțiuni care permite să rezolve orice ecuație liniară. Astfel, un algoritm pentru rezolvarea ecuației liniare este după cum urmează:

• Prima înregistrare ecuație liniară găsi valorile a și b coeficienți.
• Dacă a = 0 și b = 0. atunci această ecuație are infinit mai multe rădăcini, și anume, orice număr este rădăcina unei ecuații liniare.
• Dacă a = 0 și b ≠ 0. ecuația originală nu are rădăcini.
• În cazul în care un non-zero, atunci
  • Coeficientul b este transferat în partea dreaptă, cu semn opus, în care ecuația liniară este transformată într-o · x = -b.
  • după care ambele părți ale ecuației sunt divizate printr-un număr de nenul. care randamentele sursa rădăcină dorită a ecuației liniare.

Algoritmul a înregistrat un răspuns exhaustiv la întrebarea cum să rezolve ecuații liniare.

Pentru a încheia această secțiune este de a spune că un algoritm similar este folosit pentru a rezolva ecuațiile de forma a · x = b. diferența sa constă în faptul că atunci când se realizează o ≠ 0 împărți imediat ambele părți ale ecuației prin acest număr, în cazul în care b este deja în partea dreaptă a ecuației, și nu este necesar să se efectueze transferul său.

Pentru soluții de ecuații de forma a · x = b se aplică acest algoritm:

• Dacă a = 0 și b = 0. atunci ecuația are infinit mai multe rădăcini, care sunt numere.
• Dacă a = 0 și b ≠ 0. ecuația originală nu are rădăcini.
• Dacă un nenul, atunci ambele părți ale ecuației sunt împărțite de un număr nenul a. în cazul în care există doar o singură rădăcină a ecuației egală cu b / a.

Exemple de soluții de ecuații liniare

Ne întoarcem la practica. Să ne, ca algoritmul folosit pentru rezolvarea ecuații liniare. Aici sunt exemple tipice de soluții ce corespund la diferite valori ale coeficienților de ecuații liniare.