Raspredelenie Puassona 2

Teoria probabilităților - o știință matematică care studiază modele în evenimente aleatoare. Astăzi este o știință completă, care este de mare importanță practică.

Istoria teoriei probabilității datează din secolul al XVII-lea, atunci când primele încercări de sarcini sistematice de cercetare au fost efectuate cu privire la fenomene aleatoare în masă și aparatul matematic în cauză. De atunci, multe fundații au fost dezvoltate și aprofundat la conceptele actuale, au fost deschise alte legi și regularități importante. Mulți oameni de știință au lucrat și lucrează la problemele teoriei probabilității.

Printre acestea, este imposibil să nu acorde atenție la lucrările lui Simeon Poisson Denis ((1781-1840) - matematician francez), sa dovedit mai generală decât cea a Yakova Bernulli, forma legii numerelor mari, iar primul care a aplicat teoria probabilității problemelor de foc. Numele lui Poisson este legată de una dintre legile de distribuție, care joacă un rol major în teoria probabilității și aplicațiile sale.

Această lege poate fi descrisă și ca un caz de limitare a distribuției binomiale atunci când probabilitatea p a evenimentului suntem interesați într-un singur experiment este foarte mic, dar numărul de experimente m, produs pe unitatea de timp este suficient de mare, și este acest lucru, că, în procesul de p

munca mp tinde la o valoare constantă pozitivă

).

Prin urmare, legea Poisson este adesea menționată ca legea evenimentelor rare.

Raspredelenie Puassona în teoria probabilităților

Funcția și un număr de distribuție

Raspredelenie Puassona - este un caz special al distribuției binomiale (cu n >> 0 și p -> 0 (un eveniment rar)).

Matematicii cunoscute formulă pentru a calcula valoarea estimată a oricărui membru al distribuției binomiale:

unde a = n · p - parametrul Poisson (așteptare), iar dispersia este egală cu așteptările. Calculele matematice care explică această tranziție. distribuția binomială

pot fi scrise, în cazul în care ne-am stabilit p = o / n. sub forma

Deoarece p este foarte mic, este necesar să se ia în considerare numai numărul de m. mici în comparație cu n. produs

foarte aproape de unitate. Același lucru se aplică la valoarea

foarte aproape de e -a. Prin urmare, obținem formula:

numărul lui Euler (2,71 ...).

,

funcţia de generare a

Distribuția de probabilitate cumulativă este

O distribuție număr de variabila aleatoare X este distribuit conform legii Poisson, după cum urmează:

,

.

condițiile EXEMPLU sub care există Raspredelenie Puassona

După cum sa menționat deja, multe probleme practice duc la o distribuție Poisson. Luați în considerare una din acest tip de sarcini tipice.

Lăsați axa x Ox punct distribuit aleator (Fig. 3). Să presupunem că o distribuție aleatorie de puncte îndeplinesc următoarele condiții:

1) Probabilitatea de a obține un anumit număr de puncte pe intervalul l depinde doar de lungimea acestui segment, dar nu depinde de poziția sa de pe abscisă. Cu alte cuvinte, punctele sunt distribuite pe abscisă cu aceeași densitate medie. Notam densitatea, adică, așteptarea numărului de puncte pe unitatea de lungime prin # 955; .

2) puncte distribuite pe axa orizontală, în mod independent unul față de celălalt, adică, probabilitatea de a lovi un anumit număr de puncte pe o perioadă dată nu depinde de cât de multe dintre acestea au primit nici un alt segment fără a se suprapune cu ei.

3) Probabilitatea de a obține într-o porțiune mică # 916, din cele două sau mai multe puncte este neglijabilă față de probabilitatea de a avea un singur punct (această condiție este imposibilitatea practică de coincidență a două sau mai multe puncte).

Izolați anumit segment abscisa de lungime l si ia in considerare discret variabila aleatoare X - numărul de puncte care se încadrează pe această piesă. Valorile posibile sunt valorile 0,1,2, ..., m, ... Deoarece punctele cad pe un segment independent, atunci, teoretic, este posibil ca acestea vor fi acolo orice număr, și anume seria continuă pe termen nelimitat.

Vom demonstra că variabila aleatoare X este o distribuție Poisson. În acest scop, este necesar să se calculeze Pm probabilitatea ca pe segmentul cade exact de puncte m.

În primul rând vom rezolva problema mai simplu. Luați în considerare la Ox mică porțiune # 916; s și se calculează probabilitatea ca acest site va primi cel puțin un punct. Vom proceda după cum urmează. Numărul estimat de puncte care se încadrează pe acest site este, evident, încă # 955, # 903, # 916; .. X (t per unitate de lungime până la medie adjudecate # 955; puncte). În conformitate cu condiția 3 pentru un mic segment # 916; x poate fi neglijată posibilitatea de a cădea pe ea două sau mai multe puncte. Prin urmare, așteptările # 955, # 903, # 916; x numărul de puncte care se încadrează pe porțiunea # 916; s. va fi aproximativ egală cu probabilitatea ca un punct de pe ea (sau, echivalent, cel puțin una din condițiile date).

Astfel, până la infinitezimal de ordin superior, la # 916; x → 0, putem presupune probabilitatea acelui site # 916; s obține unul (cel puțin un) punct este egal cu # 955; # 903; # 916; s. și probabilitatea ca unul nu va primi nici de # 903 1-c; # 916; s.

Noi folosim acest lucru pentru a calcula probabilitatea de a lovi intervalul Pm l exact m puncte. Se împarte segmentul l pe o lungime n părți egale

Să ne sunt de acord să numim segmentul elementar # 916; i „gol“, în cazul în care nu a primit nici un punct, iar „ocupat“ în cazul în care cel puțin un hit în ea. În conformitate cu ceea ce a fost demonstrat mai sus, probabilitatea ca segmentul # 916; i va fi „ocupat“ este aproximativ egal cu # 955; # 903; # 916; x =

; probabilitatea ca el va fi „gol“, este egal cu 1

. Deoarece, în funcție de starea 2, puncte care se încadrează în segmente care nu se suprapun sunt independente, atunci segmentele noastre n pot fi considerate ca fiind independente n „experimente“, în care fiecare segment poate fi „ocupat“ cu probabilitatea p =

. Să ne găsim probabilitatea ca printre n segmente va fi exact m «ocupat». Prin repetate încercări independente teoremă, această probabilitate este

,

.

Pentru suficient de mare n, această probabilitate este aproximativ egală cu probabilitatea ca segmentul exact l m pixeli, m. K. Obținerea două sau mai multe puncte de pe un segment # 916; s are o probabilitate neglijabilă. Pentru a găsi valoarea exactă a Pm. aveți nevoie pentru a merge la limita ca n → ∞:

,

constatăm că probabilitatea cerută este dată de

unde a = # 955; l. și anume X variabilă este distribuit în funcție de distribuția Poisson cu parametrul a = # 955; l.

Trebuie remarcat faptul că amploarea și sensul reprezintă numărul mediu de puncte referitoare la intervalul l.

Valoarea R1 (probabilitatea ca variabila X are o valoare pozitivă), în acest caz, exprimă probabilitatea ca intervalul l atinge cel puțin un punct: R1 = 1-e-o.

Astfel, am constatat că Raspredelenie Puassona apare în cazul în care un anumit punct (sau alte componente) ocupă o poziție aleatoare independent unul de altul, și contorizează numărul de puncte care se încadrează în unele regiuni. În cazul nostru, aceasta zona a fost un segment l pe axa x. Cu toate acestea, această concluzie poate fi ușor extins la cazul punctelor de distribuție în plan (puncte de câmp aleator plate) și în spațiu (puncte spațiale câmp aleatoare). Este ușor de dovedit că în cazul în care condițiile:

1) Punctele sunt distribuite într-un câmp uniform statistic cu o densitate medie # 955; ;

2) punctele intră în care nu se suprapun regiune independent;

3) puncte apar individual și nu în perechi, tripleți, etc.

numărul punctelor X. capturate în orice regiune D (plane sau spațiale) este distribuit conform legii Poisson:

,

și în care - numărul mediu de puncte care se încadrează în regiunea D.

Pentru distribuția Poisson a numărului de puncte care se încadrează într-un segment sau regiune, starea de densitate constantă (# 955; = const) nu este esențială. În cazul în care alte două condiții, legea Poisson are loc oricum numai opțiune și devine o altă expresie: nu este faptul că densitatea de multiplicare simplă # 955; lungimea, suprafața sau volumul și densitatea variabilă de integrare de-a lungul segmentului, suprafața sau volumul.

Studii de caz

1. Aparatul este alcătuit din 1000 de elemente care funcționează în mod independent unul față de celălalt. Probabilitatea de defectare a oricărui element în timpul T este egal cu 0,002. Găsiți probabilitatea ca timpul T a refuzat exact trei elemente.

Decizie. pentru că cu condiția n = 1000 este suficient de mare, și m = 0,002 mici, putem folosi o distribuție Poisson:

Decizie. Evenimente „acest efect a fost observat cel puțin o dată“ (notat cu P), iar «acest efect nu a fost observat nici măcar o dată» (notată cu Q), în mod evident ele sunt opuse. Prin urmare, P + Q = 1. de unde

Cu condiția P = 0,95. prin urmare

Astfel, numărul mediu necesar de probe care urmează să fie testate, - 300 bucăți.

3.Veroyatnost un bilet de loterie câștigător p = 0,01. Cum să cumpere bilete pentru a câștiga cel puțin unul dintre ei cu o probabilitate P, de nu mai puțin de 0,98?

Decizie. Probabilitatea de a câștiga este scăzut, iar numărul de bilete pe care doriți să cumpere este, evident, mare, astfel încât un număr aleatoriu de bilete câștigătoare este de aproximativ Raspredelenie Puassona.

Evenimente „nici unul dintre biletul achiziționat nu este un câștigător“ și „cel puțin un bilet - câștigător“ - opusul. Prin urmare, suma probabilităților acestor evenimente este egală cu una din urmatoarele:

Prin ipoteză, R≥0,98. sau 1-e -s ≥0,98. În cazul în care s f ≤0,02.

Din tabel vom găsi e -3.9 = 0,02. pentru că Funcția e -X - în scădere, inegalitatea anterioară are pentru a≥3,9. sau np≥3,9. Prin urmare, n≥3,9 / 0,01 = 390.

Astfel, este necesar să se cumpere cel puțin 390 de bilete pentru a câștiga cel puțin unul dintre ei.

4. Numărul secundar de apeluri primite la centrala telefonică într-un minut este egal cu 120. Găsiți probabilitatea ca în două secunde pe PBX a fost nici un apel; două secunde la schimb va merge cel puțin două apeluri.

Decizie. două secunde Numărul mediu de apeluri este:

Probabilitatea ca stația de timp de 2 secunde a fost nici un apel este:

Eveniment constând în primirea de cel puțin două apeluri, înseamnă că postul nu este primit nici un singur apel sau a intrat doar unul. Astfel, probabilitatea unei mai puțin de 2 apeluri în același timp, este egal cu:

5.Sluchaynaya variabila X - numărul de electroni emiși de un catod încălzit pentru un tub de electroni în timpul t, # 955; - numărul mediu de electroni emiși pe unitate de timp. Se determină probabilitatea ca timpul t pentru numărul de electroni emiși este mai mică decât m (mÎN).

Decizie. # 955; - numărul mediu de electroni, t - timpul de emisie este, prin urmare, a = # 955; t.

6. catod încălzit emis pe q mediu unitatea de timp (t) de electroni, unde t - timpul scurs de la începutul experimentului. Găsiți probabilitatea ca durata intervalului de timp # 964;, începând de la momentul t0, electronii cu catod acoperi exact m.

Decizie. Am găsit numărul mediu de electroni, de asemenea. care pleacă de la catod în această perioadă de timp:

Conform calculelor și de a determina probabilitatea necesară:

În concluzie, observăm că Raspredelenie Puassona este un comune și importante aplicații de distribuție având în teoria probabilităților și aplicațiile sale, precum și în statisticile matematice.

Multe probleme practice sunt reduse, în cele din urmă, la distribuția Poisson. Caracteristica sa specială, care constă în egalitatea așteptării și varianța, sunt adesea folosite în practică pentru a rezolva problema, o variabilă aleatoare distribuită prin legea Poisson sau nu.

De asemenea, important este faptul că legea Poisson permite probabilitățile de evenimente în cadrul studiilor independente repetate cu un număr mare de repetiții de experiență și de o mică unitate de probabilitate.

Referințe